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#Logik

bild-1Eine kurze Notiz zu einer Diskussion über Logik, die im Anschluss an das heutige Seminar stattfand. Ausdrückliche Werkstattversion.

Thorsten geht, in Bezug auf den Wahrheitsbegriff, weitgehend mit Kant, wenn er Logik logische Urteile als analytische Urteile a priori beschreibt. Hier entfaltet sich die Tautologie der reinen Logik: Ohne eine Synthese, also das Hinzufügen eines weiteren Prädikats, das bislang nicht in der Menge der Aussagen enthalten war (beispielsweise in Form einer Anwendung: „x ist wahr“) entsteht keine (neue) Erkenntnis. Aus diesem Grund stufte Kant Mathematik als ein „synthetisches a priori“ ein, da in der simplen Addition der Zahlen 5 und 5 die Zahl 12 nicht enthalten ist. Kant schreibt in der Kritik der reinen Vernunft: „Daß 7 zu 5 hinzugetan werden sollten, habe ich zwar im Begriff einer Summe = 7 + 5 gedacht, aber nicht, daß diese Summe der zahl 12 gleich sei. Der arithmetische Satz ist also jederzeit synthetisch;“¹

Ist die Aussage, Wahrheit sei losgelöst von einem Beobachter potentieller Gegenstand theoretischer Reflexion, überhaupt haltbar? Was ist der Nutzen einer „reinen“ Logik, wenn sie immer durch die beobachterrelative Synthese „verunreinigt“ wird? „Seit Hegel kann man im Grunde wissen, daß man mit einer Logik, die widerspruchsfreie Gegenstände postulieren muß, Soziales aus der Umwelt der Wissenschaft ausschließt.“² Das soziale Leben arbeitet nicht widerspruchsfrei – und Widerspruch ist nicht mehr als ein Moment der Selbstreferenz von Sinn, denn jeder Sinn schließt die eigene Negation als Möglichkeit ein: „Unter Logik ließe sich, wenn man dieser Perspektive folgte, ein System von Regeln verstehen, das die Konstitution von Widersprüchen konditioniert.“³ Diese Defintion halte ich für intuitiv plausibel: Ohne Logik keine Widersprüche, sie ist zunächst ein Werkzeug zur Konstruktion und Erkenntnis von Widersprüchen.

Woher aber die Gewißheit, mit der wir die logische Wahrheit aus syllogistischer Deduktion oder mathematischer Gleichung (2 + 2 = 4) gewinnen können? Gibt es eine ideale Gewißheit (im Sinne Platons)? Liegt unter dem Schleier der unreinen Sprache die saubere Domäne der Mathematik verborgen, die von uns nur ent-deckt werden muss? „Wir erfinden uns die Regeln, und dann folgen wir den Regeln“ schreibt Heinz von Foerster.⁴ Und Ernst von Glaserfeld antwortet: „Du hast das sehr schön erklärt. Das ist genau, was ich auch glaube. Die Mathematik ist freilich eine freie Erfindung, nur wird das sehr oft mißverstanden, weil die Leute sagen, ja wenn es so frei ist, warum ist dann 2 x 2 immer 4?“⁵

Die Antwort liefert die zunehmende Abstraktion von konkreten Zählvorgängen, alles sensorische Material wird eleminiert.⁶ Die Hypothesen verschwinden aus dem Blickfeld und wie beim Syllogismus gilt: Es kann auch aus falschen Hypothesen richtig geschlossen werden. Die Hypothesen sind jedoch Verabredungssache: Wir landen wieder bei Viabilität. Alles weitere: Regelfolgen.

post scriptum: Dem geneigten Leser seien noch zwei oder drei Einträge in meinem Hauptblog nahe gelegt: „Fröhliches oszillieren!“ und „Wittgenstein sagt…„. Und natürlich „Die Moral von der Geschicht‘„…


¹ KANT, Immanuel: Kritik der reinen Vernunft 1, Frankfurt/Main 1979, S. 56 (B16).

² LUHMANN, Niklas: Soziale Systeme. Grundriß einer allgemeinen Theorie, Frankfurt/Main 1984, S. 490.

³ Ebd., S. 495.

⁴ FOERSTER, Heinz von, GLASERSFELD, Ernst von: Wie wir uns erfinden. Eine Autobiographie des radikalen Konstruktivismus, Heidelberg ³2007, S.132.

⁵ Ebd., S. 133.

⁶ GLASERSFELD: Radikaler Konstruktivismus. Ideen, Ergebnisse, Probleme, Frankfurt/Main 1997, S. 281.

12 Kommentare

  1. Horst – der bin ich! – betrachtet Logik zunächst einmal als eine Disziplin, und ihm liegt fern, von einer analytischen Disziplin a priori zu reden. Er kennt aber analytische Urteile a priori. Solche ergeben sich in der Logik z. B. wie folgt: Eine Logikerin baut einen Kalkül und folgert, dass dieser oder jener Ausdruck relativ zum Kalkül ein Theorem ist. Diese Folgerung ist dann ein analytisches Urteil a priori. Inwiefern hierbei das Hinzufügen eines weiteren Prädikats wie „ist wahr“ notwendig sei, um eine Tautologie zu vermeiden, versteht Horst nicht.

    Kant missversteht übrigens seines Erachtens „analytisch“, weil jener nur an Subjekt-Prädikat-Urteile denkt und deshalb wähnt, 7 + 5 = 12 sei nicht analytisch, da das Prädikat = 12 nicht im Subjekt 7 + 5 enthalten sei. Tatsächlich setzt sich aber das fragliche Urteil aus den beiden Subjekten 7 + 5 sowie 12 und dem relationalen Prädikat = zusammen. Dies Urteil ist insofern analytisch, als dass sich seine Wahrheit allein durch begriffliche Analyse erkennen lässt.

    Was Widersprüche angeht, glaubt Horst, dass es sich in der Tat so verhält, dass ein Ausdruck wie „nicht-(P und nicht-P)“ relativ zu fast jedem Logikkalkül ein Theorem ist. Es mag demzufolge gut sein, dass ein Logikkalkül für gewöhnlich „die Konstitution von Widersprüchen konditioniert“, was auch immer das im Detail heißen mag. Aber ist das nicht eh im Sinne desjenigen, dem ein Logikkalkül der Argumentationskritik dienen soll, gerade weil widersprüchliche Argumentationen soziale Tatsachen sind?

  2. a) Was die „analytische Disziplin a priori“ anbelangt – ist natürlich Quatsch. Habe ich verbessert, danke für den Hinweis.

    b) Mit Blick auf Kant handelt es sich am Ende um eine Definition (also, wenn ich mit einem Zwinkern anmerken darf, um das Treffen einer Unterscheidung durch einen Beobachter). Er missversteht in diesem Sinne nicht den Begriff „analytisch“, sondern gebraucht in nur anders. Unter B10 (S. 52 in der oben zitierten Ausgabe) ist folgende Definition der Differenz von analytisch/synthetisch zu finden: „Entweder das Prädikat B gehört zum Subjekt A als etwas, was in diesem Begriffe A (versteckter Weise) enthalten ist; oder B liegt ganz außer dem Begriff A, ob es zwar mit demselben in Verknüpfung steht. Im ersten Fall nenne ich das Urteil a n a l y t i s c h, in dem andern s y n t h e t i s c h.“ Es handelt sich gewissermaßen um ein anderes Sprachspiel. Ich verstehe deinen Punkt (oder glaube das zumindest), aber weder „5“, „7“ noch „=“ enthalten „12“. Das meint etwas anderes als „Wahrheit allein durch begriffliche Analyse erkennen“ – aber das nur, um die Begriffe zu sortieren.

    c) Du musst mir noch mal deine letzte Frage erläutern, da bin ich Horst. Was meinst du genau mit „Theorem“?

  3. Ad c): Ein Theorem ist ein Ausdruck, der sich im Kalkül ableiten lässt, ohne von Annahmen abhängig zu sein. Das tertium non datur kann z. B. in einem Kalkül der klassischen Aussagenlogik wie folgt als Theorem abgeleitet werden:

    1 (1) p AE
    2 (2) -p AE
    2 (3) p v -p aus (2) mit vE
    1, 2 (4) -(p v -p) & (p v -p) aus (1) und (3) mit &E
    1 (5) -p aus (2) und (4) mit RAA
    1 (6) p v -p aus (5) mit vE
    1 (7) -(p v -p) & (p v -p) aus (1) und (6) mit &E
    (8) –(p v -p) aus (1) und (7) mit RAA
    (9) p v -p aus (8) mit DN

    An die Ableitung von -(p & -p) als Theorem kann ich mich gerade nicht erinnern.

  4. Ich vermute, dass das Problem genau bei „Ausdruck […] ohne von Annahmen abhängig zu sein“ liegt. Sogar ein absolut basaler Kalkül wie der aus Spencer Browns „Laws of Form“ kommt nicht ohne (Vor-) Annahmen aus. Dazu später aber mehr…

  5. Ich kann mir vorstellen, dass du bei deiner Vermutung scheinbare Annahmen, die in der Metasprache formuliert werden, mit Annahmen vermischst, die in der Objektsprache formuliert werden. Der Begriff einer Annahme wird ja im Grunde erst im Zuge des Entwurfs eines Kalküls metasprachlich definiert, und zwar stipulativ.

  6. Ein Kalkül beginnt normalerweise mit der Annahme bestimmter Art: Zahlen, Mengen oder Größen und den Relationen bzw. Gesetzmäßigkeiten zwischen ihnen. Diese werden als gegeben angenommen und hier und dort gerechtfertigt. Ohne Annahmen kann gar nichts getan werden. In diesem Sinne haben wir interessanterweise beide Recht und Unrecht: Durch Stipulation gehören die Annahmen zum Kalkül, bzw. der Kalkül beginnt mit Annahmen. Das hat nichts mit Objekt- oder Metasprache zu tun: Klar, dass ein stimmiger Kalkül (vollständig und widerspruchsfrei) die Annahmen dann rekursiv rechtfertigt. Ohne Anfang lässt sich bekanntlich nicht anfangen. Mein Punkt ist aber folgender:

    Eine klassische Annahme zu Beginn eines Kalküls lautet etwa „Es sei…“. DAS ist die erste Unterscheidung, die aber durch Formalsprache („Metasprache“?) verschleiert wird. Annahmen sind Unterstellungen von Tatsächlichkeit – dabei sind doch eigentlich die Mathematik und Logik Musterbeispiele für die Tatsache, dass Erkenntnis immer aktive Konstruktion ist! Wir gehen immer von unseren Entscheidungen aus, legen mit Definitionen und Axiomen den Rahmen fest, folgen uns selbst auferlegten Regeln und Gesetzen. Hier bietet sich eine Überleitung zum Wissensbegriff förm(!)lich an… [Nachtrag: Vgl. den Artikel #Wissen0.1].

  7. Der Entwurf eines Kalküls ähnelt dem Entwurf eines Brettspiels. Wie derjenige, der ein Brettspiel entwirft, nicht annehmen muss, dass die Spielfiguren etwas Realem entsprechen würden, muss diejenige, die ein Kalkül entwirft, nicht annehmen, dass die Ausdrücke des Kalküls etwas Realem entsprechen würden. Mit anderen Worten, bestenfalls Spielfiguren bzw. Ausdrücke müssen als gegeben angenommen werden, nicht aber Zahlen, Mengen oder dergleichen.

    Eine Annahme im Kalkül ist im Übrigen immer ein formaler Ausdruck des Kalküls, nicht mehr und nicht weniger. Sie ist nicht zu verwechseln mit den Annahmen, die man im Alltag macht. Letztere können und sollen auch nicht im Kalkül gerechtfertigt werden.

  8. In diesem Sinne bleiben sie dann auch ein „Glasperlenspiel“, eine kontingente Art der Beschäftigung, dem Schach- oder Brettspiel auch in dieser Hinsicht nicht unähnlich. Es muss aber noch einmal festgehalten werden, dass wir es bei „Beweisbarkeit“ nicht mit „Wahrheit“ zu tun haben!

    Nachwort.
    „Selbst den Axiomen der Logik, etwa dem Postulat der Widerspruchsfreiheit, fehlt dann ein Realitätskorrelat; denn wenn man beweisen wollte, daß die Welt selbst widerspruchsvoll bzw. widerspruchsfrei existiert, müßte die Beweisführung eben dieses Axiom bereits verwenden.“ (Niklas LUHMANN: Die Wissenschaft der Gesellschaft, Frankfurt/Main 1992, S. 12.) Diese basale Selbstreferenz jedes mathematisch-logischen Systems läßt sich (spätestens) seit Gödel nicht mehr ignorieren; jedes formale System solcher Art ist unvollständig: „Alle widerspruchsfreien axiomatischen Formulierungen der Zahlentheorie enthalten unentscheidbare Aussagen.“ (Douglas HOFSTADTER: Gödel. Escher, Bach. Ein endlos geflochtenes Band, ¹¹2007, S. 19.), Gödel zeigte letztlich, „(…) daß Beweisbarkeit ein schwächerer Begriff ist als Wahrheit, unabhängig davon, um welches axiomatische System es sich handelt.“ (ebd., S. 21).

  9. Nach dem ich mir nochmal deine Beschreibung durchgelesen habe, wie Kant die Begriffe Analytisch und Synthetisch verwendet, muss ich sagen dass er anscheinend die Mathematik, oder ihr Wesen (und eventuell damit auch das der Logik an sich) missverstanden hat. Denn die „Erkenntnis“ 5+7=12 liegt nicht erst im Audführen der Rechnung 5+7 Begründet, sie liegt bereits im Formalen System der Mathematik (bzw) Zahlentheorie. Zwar „erkennen“ wir das ergebnis erst synthetisch, dh. nach Durchführung der Rechnung. Es ist jedoch bereits festgeschrieben, sobald die Axiome und Regeln des Formalen Systems (Beispielsweise der Principia Mathematica) festgeschrieben sind. In diesem Fall existiert eine „Wahrheit“(innerhalb des Formalen logischen Systems, Beweisbarkeit ist das besssere Wort wie Sebastian schon andeutete) also, bevor wir sie kennen (Beispielsweise ob 510511 eine Primzahl ist).
    In dem Wikipedia-Artikel zu Principia Mathematica wird übrigens angegeben, dass dort nachgewiesen wurde, dass Kant sich irrte, und die Zahlentheorie weder Empirisch noch apriorisch sei, allerdings verstehe ich die Begründung nicht so ganz.
    Interessanterweise ist, obwohl in der Mathematik die von Luhmann erkannte Bedeutung von Gödels Satz bekannt ist, dort der Formalisus vorherrschend: Dementsprechend gibt es „Wahrheiten“ vor dem Hintergrund bestimmter Axiome. Die meisten dieser Wahrheiten sind beweisbar, einige nicht (Unentscheidbare Aussagen nach Gödel). Die Axiome sind auf jeweils höherliegender Metaebenen auch formallogisch herleitbar, allerdings gibt es irgendwo „über“ den basalsten Systemen zu natürlichen Zahlen letztendlich eine Grenze (Beispielsweise ist die Unterscheidung 1 0 nicht mehr beweisbar)(siehe Methamathematik
    Die Gegenrichtung wäre der mathematische Intuitionismus. Hier ist die Wahrheit mit dem Beweis gleichbedeutend, was dazu führt dass „Terzium non Datur“ nicht mehr funktioniert. Dies ist jedoch auch trotz Gödel wohl nich sehr praktikabel.

    Es kommt also letztendlich dabei heraus, das in der Mathematik am Anfang und am Ende die Wahrheit im Dunst des unentscheidbaren verschwindet, das was dazwischen liegt ist jedoch auf logische-formale weise Beschreibbar, was wieder Viabilität bedeutet, da ja keine endgültige Entscheidung getroffen werden kann. Wenn es bei sowas einfachem wie der Mathematik so ist, wie so sollte es bei viel komplexeren Themen anders sein?

  10. Jep, du sprichst mir aus der Seele. Ich muss allerdings noch ergänzen, dass mit Blick auf Kant Fehler zunächst einmal zu meinen Lasten gehen, was grundsätzlich für alle verbleibenden Fehler im Rahmen dieses Blogs gilt, mit Ausnahme von Fehlern in diesem Satz, natürlich. ;-)

  11. Die erste Zeile obiger Ableitung muss natürlich „1 (1) -(p v -p) AE“ lauten. Hat Horst eben erst entdeckt. Macht seinem Namen alle Ehre.

    Übrigens scheint ihr mir nicht hinreichend Satzpaare wie „p v -p“ und „‚p v -p‘ ist ein Theorem klassischer Junktorenlogik“ zu unterscheiden. Ein Satz der ersten Art ist im Kalkül klassischer Junktorenlogik beweisbar, nicht aber ein Satz der zweiten Art. Um einen Satz der zweiten Art geht es mir. Er bringt m. E. eine analytische, apriorische Wahrheit zum Ausdruck.

  12. Pingback: #Wissen0.1 — „draw a distinction!“

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